文／台兒統計研究員 宋展毓
從小學開始成績就以60分作為及格標準的我們，試想換一個呈現方式描述及格這件事，會不會更好理解呢？「小明在這次考試中，數學得了75分以及英文54分。」我們可以很直覺地知道小明的數學有及格，但是英文卻沒有，原因就是我們知道以60分當作基準去理解這件事情，如：數學＝75 ≥ 60，英文＝54 < 60 。
但其實也可以從「比值」的角度去解釋。75分是及格標準60分的1.25倍，54分則是0.9倍。若比值大於1，我們可以解釋成「成績是大於60分」；反之小於1則是不及格。下面要介紹的累積和管制圖（Cumulative Sum, CUSUM）就是利用比值的概念建構出品管圖表。
什麼是CUSUM？
CUSUM如同字面上的意思就是把某個統計數值一直累加起來。我們會將數據跟「基準」進行函數轉換後相除進而得到比值，透過此統計量的累積進行品質管理。為了方便了解，大家可以先記住CUSUM的結論為：「累積線向下代表數據低於平均，向上則是高於平均。」
以圖（一）為例，橫軸為品管監測的數量、縱軸為CUSUM，橘線則是數據的累積趨勢。我們可以看到它持續偏離黃色虛線（基準線），代表著此數據基本上都是低於平均值，更詳細地解釋為普遍低於平均5%（綠色虛線為偏差5%，紅色虛線則是10%）。
圖（一）：CUSUM示意圖
為什麼需要CUSUM？
在解釋為什麼之前，我們再來歡迎小明一次。小明五次小考成績如下表（一），如果只用「及不及格」來判斷兩個科目的好壞，我想可以得到兩者及格率都是百分之百的結論。但其實我們明顯看到小明的數學成績是有在進步的，反而是英文雖然都有及格但都是維持在邊緣。
表（一）：小明五次數學與英文小考成績和CUSUM
因此若我們可以將二分法（只判斷是否及格）先暫時捨去，反之將原始數值納入考量，將其換算成CUSUM，才可以進一步地了解目前數據的累積分佈。如下圖（二），明顯地發現數學成績的成長幅度是遠高於英文的。
圖（二）：小明五次數學（左）與英文（右）小考轉換後的成績與CUSUM
這就是為什麼我們建議使用CUSUM進行品質管理，透過數據的累積和來觀察原始資料與參考基準的差距為多少、會不會偏差太遠、品質是否穩定以及數據的平均趨勢。
CUSUM計算流程
延續引言的考試成績例子，今天小明班上的數學成績如下表（二），我們一樣可以將每位同學的成績與60分相除並且再取以10為底的自然對數，取對數的原因是以0作為基準，看到正負值可以更直覺地解釋。
計算比值、取對數以及計算取完對數後的CUSUM，為計算三步驟。其中比值以1作為基準，超過則是及格；反之則是不及格。取完對數後與比值的評估標準一樣，只是變成以0作為切分點，正數為及格；反之負數則是不及格。我們可以看到A同學和D同學成績經過比值與取對數的轉換後，A是正數，則D是負數。最後一個CUSUM則是觀察整體趨勢，我們可以發現上表的CUSUM一直維持在正數，就代表整班的成績趨勢基本上都是及格的。
結語
品質管理是第一孕期篩檢很重要的工作，無論是血清篩檢（PAPP-A, Free β-hCG）、胎兒頸部透明帶、子宮動脈血流阻力或是血壓，都需要遵守標準的作業流程，並定期檢討數據的趨勢走向與分佈，以調校該項篩檢在台灣族群的效能，如敏感度和篩檢陽性率，以符合本地族群的需要。
CUSUM是品質管理的重要方法之一，可以用來即時地追蹤數據的趨勢，觀察在特定的時間點下，資料發生多大多小的偏差。CUSUM也可以透過數據與基準的偏離程度，用來校正數學模型的統計工具，希望所有執行第一孕期篩檢的同道，都能對CUSUM有基本的認識。
參考資料
Montgomery DC. Introduction to statistical quality control. 3rd ed. John Wiley & Sons Inc. 1997
